Linear AlgebraCross Product

• يعنى ايه cross product؟
• لو عندى vector u   و vector v معرف فى ال directions i و j  و k حاصل ال cross product  ليهم هيكون vector perpendicular to  ال مستوى اللى فيه ال vectors u  وv  يعنى ناتج الضرب هنا هيكون متجه ..وليس مجرد رقم زى ال dot product

• ازاي نحسب ال area of triangle باستخدام ال cross product؟

لو عندى triangle with vertices p_1, p₂, p₃ مساحته هتساوى ½ bh بحيث ان ال b  هى  base  المثلث وهى ال segment  بين ال two points p₁ و p₂ وهنفرض انها بتساوى length  ال vector u و h  هو height  المثلث هنفرض ان ال  segment   بين ال points p₁ و p₃ بتساوى length  ال vector v بالتالى قيمة ال h  هتساوى length  ال vector v فى sin seta  المقابلة ل h وبالتعويض من ال equations 2  و 3 فى 1 هتكون مساحة المثلث بتساوى ½   في length  ال vector u   فى length  ال vector v  فى sin seta  اللى بينهم والمقدار ده بيساوى length ال cross product  لل vectors u cross v.

• أزاي نحسب الarea of parallelogram  باستخدام ال cross product ؟

وممكن استخدم معادلة ال triangle فى حساب مساحة ال parallelogram  بافتراض انه مقسوم لمثلثين أد بعض في المساحة فالبتالى  هتكون مساحته ضعف مساحة ال triangle.

3.2 Vector Operations

• يعنى ايه  length  ال vector  وازاى بنحسبه؟

Magnitude ال vector  أو ال length  أو ال norm كلهم ليهم نفس القيمة  وهي ال square root  لحاصل جمع square of its components.

• ازاى بنحسب ال distance between two vectors ؟

لو عندى two vectors   فال distance  بين ال   point اللى بتتكون من ال components u₁, u₂   لحد u_n وال point v₁, v₂  لحد v_n بتساوى length  أو magnitude  أو norm  ال vector u – v واللي بنحسب قيمته من خلال حساب ال square root  ل square    ال  component  u₁ minus  ال  component v₁  زائدSquare  ال component u₂ minus   ال component v₂ وهكذا لحد ال component u_n و v_n.

• ايه هو ال inner product  وازاى بنطبقه على ال vectors ؟

ال inner products  أو ال dot product  هو واحد من ال operations  اللى نقدر نطبقها على الvectors  واللى بيساوى حاصل ضرب ال dot  component u₁ ال component v₁ زائد حاصل ضرب ال dot  component u₂ ال component v₂ وهكذا لحد ال component u_n  و v_n.

• ازاى نحسب ال angle between two vectors؟

ال dot product  بستخدمه فى حساب ال angle  بين two vectors بحيث  cosine seta  بتساوى ال dot product  لل vectors u  و v  مقسوم على حاصل ضرب magnitude  ال vector u  فى magnitude  ال vector v.

• أيه هو ال unit vector  وازاى بنحسبه؟

ومن أهم ال operations  على ال vector  هى أننا نقدر نحول أى vector  ل unit vector  يعنى طوله بيساوى واحد فمثلا لو عندى vector x  فال  unit vector u هيساوى component  ال vector x  مقسوم على length  ال vector x وفى الحالة دى اتجاه ال vector u  هو نفس اتجاه ال vector x  وطوله أو مقداره بيساوى 1.