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• Notes

Find $\int \sec ^{2}(\sqrt{x}) d x$

let $t=\sqrt{x} \rightarrow x=t^{2} \rightarrow d x=2 t d t$

$\int \sec ^{2}(t)(2 t d t)=2 \int t \sec ^{2}(t) d t=2 J$

$u=t \quad \Rightarrow d u=1 d t$

$v=\tan (t) \Leftarrow d v=\sec ^{2}(t) d t$

$J=\int t \sec ^{2}(t) d(t)=\int u \cdot d v$

$=u \cdot v-\int v \cdot d u=t \cdot \tan (t)-\int \tan (t) \cdot d t$

$* \int \tan (x)=\ln |\sec (x)|$

$J=t \cdot \tan (t)-\ln |\sec (t)|+c$

$2 J=2 \cdot t+\tan (t)-2 \ln | \sec (t) |+C$

$I=2 \cdot \sqrt{x} \tan (\sqrt{x})-2 \ln |\sec (\sqrt{x})|+c$

$I=\int \sec ^{2}(\sqrt{x}) d x=2 \sqrt{x} \tan (\sqrt{x})-2 \ln |\sec \sqrt{x}|+c$

Find $\int x^{2} e^{x} d x$

$u=x^{2} \Rightarrow d u=2 x d x$

$v=e^{x} \Leftarrow d v=e^{x} d x$

$\int u d v=u \cdot v-\int v \cdot d u$

$\int x^{2} e^{x} d x=x^{2} \cdot e^{x}-\int e^{x} \cdot 2 x d x$

$=x^{2} e^{x}-2 \int x \cdot e^{x} d x=x^{2} e^{x}-2 I$

For $I=\int x \cdot e^{x} d x$

$u=x \quad \Rightarrow d u=1 d x$

$v=e^{x} \Leftarrow d v=e^{x} d x$

$I=u \cdot v - \int v d u=x e^{x}-\int e^{x} d x$

$I=x e^{x}-e^{x}+c$

$\int x^{2} e^{x} d x=x^{2} e^{x}-2 I=x^{2} e^{x}-2\left[x e^{x}-e^{x}+c\right]$

$=x^{2} e^{x}-2 x e^{x}+2 e^{x}-2 c$

$=x^{2} e^{x}-2 x e^{x}+2 e^{x}+C_{1}$

where $c_{1}=-2 c$

$=e^{x}\left(x^{2}-2 x+2\right)+c_{1}$

Find $\int e^{x} \cos (x) d(x)$

$u=\cos (x) \Rightarrow d u=-\sin (x) d x$

$v=e^{x} \quad \Leftarrow d v=e^{x} d x$

$I=\int e^{x} \cos (x) d x=u \cdot v-\int v d u$

$=e^{x} \cos (x)-\int -e^{x} \sin (x) d x$

$=e^{x} \cos (x)+\int e^{x} \sin (x) d x$

$=e^{x} \cos (x)+J$

$J=\int e^{x} \sin (x) d x$

$u=\sin (x) \Rightarrow d u=\cos (x) d x$

$v=e^{x} \Leftarrow d v=e^{x} d x$

$J=u \cdot v-\int v d u$

$J=\sin (x) e^{x}-\int e^{x} \cos x d x$

$J=e^{x} \sin (x)-I$

$J=e^{x} \sin (x)-I$

$I=\int e^{x} \cos (x) d x=e^{x} \cos (x)+J$

$I=\int e^{x} \cos (x) d x=e^{x} \cos (x)+e^{x} \sin (x)-I$

$2 I=e^{x} \cos (x)+e^{x} \sin (x)$

$\frac{2 I}{2}=\frac{e^{x} \cos (x)}{2}+\frac{x}{2} \sin (x)$

$\Rightarrow I=\frac{1}{2} e^{x} \cos (x)+\frac{1}{2} e^{x} \sin (x)$

$I=\frac{1}{2} e^{x}[\cos (x)+\sin (x)]+C$