• عربي

Need Help?

Subscribe to Calculus B

###### \${selected_topic_name}
• Notes

$\begin{array}{l}{\text { Find the interval and radius of convergence of the power }} \\ {\text { series } : \sum \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n} \cdot 8^{n}}(x-2)^{3 n}}\end{array}$

Apply Ratio test: $u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n} \cdot 8^{n}} \cdot(x-2)^{3 n}$

$u_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1-1}}{\sqrt{n+1} \cdot 8^{n+1}} \cdot (x-2)^{3(n+1)} =\frac{(-1)^{n}(x-2)^{3 n+3}}{\sqrt{n+1} \cdot 8^{n+1}}$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{n_{n}}\right|= \lim _{n \rightarrow \infty} |\frac{(-1)^{n}(x-2)^{3 n+3}}{\sqrt{n+1} \cdot 8^{n+1}}\cdot \frac{\sqrt{n} \cdot 8^{n}}{(-1)^{n-1} \cdot(x-2)^{3 n}} |$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n}+1}{u_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n} \cdot 8^{x}}{\sqrt{n+1} \cdot 8^{n+1}} \left|\frac{(x-2)^{3 n+3}}{(x-2)^{3n}}\right| =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \cdot\left|\frac{(x-2)^{3} }{8}\right|$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_ n+1}{u _n}\right|=\frac{\left|(x-2)^{3}\right|}{8} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} =\frac{\left|(x-2)^{3}\right|}{8} \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}=\frac{|(x-2)^3|}{8} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}$

$\lim _{n \rightarrow \infty} {\left|\frac{u_ n+1}{u_{n}}\right|}=\frac{\left|(x-2)^{3}\right|}{8} (1)=\frac{\left|(x-2)^{3}\right|}{8}$

$\sum \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n} \cdot 8^{n}}(x-2)^{3 n}$ is $A.C$ when $\frac{\left|(x-2)^{3}\right|}{8}<1$

$\sqrt[3]{\left|(x-2)^{3}\right|}<\sqrt[3]{8} \Rightarrow|x-2|<2$

$-2<x-2<2$

$0<x<4$

Now we stady the Convergence at the bandries

$(x=0 \text { and } x=4)$

when $x=0 \Rightarrow \sum \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n} \cdot 8^{n}} (x-2)^{3 n}=\sum \frac{(-1)^{n-1} \cdot(-2)^{3 n}}{\sqrt{n} \cdot 8^{n}} =\sum \frac{(-1)^{n-1}(-1)^{3n}(2)^{3 n}}{\sqrt{n} \cdot 8^{n}}$

$=\sum \frac{(-1)^{4 n-1}\ 8^n}{\sqrt{n}\ 8^4}$but $(-1)^{(4n-1)}=(-1)^{4 n} \cdot(-1)^{-1}=-(-1)^{4 n}=-1$

$\sum \frac{(-1)^{4 n-1}}{\sqrt{n}}= -\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ whic is a Divergent p-serirs

when $x=4 \Rightarrow \sum \frac{(-1)}{\sqrt{n} \cdot 8^{n}} \cdot(x-2)^{3 n}=\sum \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n} \cdot 8^{n}}(2)^{3 n}=\sum \frac{(-1)^{n-1} \cdot 8^{n}}{\sqrt{n} \cdot x^{n}}$

$=\sum \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$ Alternating Series $b_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}} \rightarrow \sum |a_n| =\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$

is Divergent Cp-series and  $p=\frac{1}{2}<1 )$

$A \cdot S \cdot T :$

$\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\infty}=0$

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{-\frac{1}{2 \sqrt{x}}(1)}{(\sqrt{x})^{2}}=\frac{-\frac{1}{2 x^{1/2} }}{x^{1}}=\frac{-1}{2 x^{3 / 2}}<0$

$\{b n\}$ is decreasing

$\sum \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$ is $C.C$ by $A.S.T$ $, \sum \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n} \ 8^{n}} (x-2)^{3 n}$ is $C$

at $x=4$, The interval of Convergenc is $(0,4]$

Radius of Comergence $=2$